Урок по прогрессиям

Сегодня мы обсудим такие темы:

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждый следующий элемент получается прибавлением к предыдущему некоторого фиксированного числа (разности прогрессии).
Формулы:
- Определение: ( a_n = a_1 + (n - 1)d )
- Сумма первых ( n ) членов: ( S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} )
Характеристическое свойство: каждый элемент является средним арифметическим своих соседей.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждый следующий элемент получается умножением предыдущего на некоторое фиксированное число (знаменатель прогрессии).
Формулы:
- Определение: ( b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \
- Сумма первых ( n ) членов: ( S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} )
- Сумма бесконечной убывающей прогрессии (при ( |q| < 1 )): ( S = \frac{b_1}{1 - q} )
Характеристическое свойство: каждый элемент является средним геометрическим своих соседей.

Примеры задач

Компания Альфа и Бета начали инвестировать в разные отрасли. Альфа начала в 2001 году с капиталом 5000 долларов и получала прибыль 200% ежегодно. Бета начала в 2003 году с капиталом 10000 долларов и получала прибыль 400% ежегодно. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше, чем другой к концу 2006 года?
В сосуде имеется несколько одинаковых кранов, которые открываются один за другим через равные промежутки времени. Через 8 часов после включения последнего крана сосуд заполняется. Время, в течение которого были открыты первый и последний краны, относится как 5 к 1. Через сколько времени заполнится сосуд, если открыть все краны одновременно?

Объективы урока